Nudolandia

Bienvenidos al país de la topología, un espacio matemático donde la teoría de nudos cobra especial relevancia. Les presento a Marithania Silvero, ganadora del premio Vicent Caselles de investigación matemática y ciudadana ilustre de la región de Nudolandia. Esta matemática andaluza resolvió la conjetura de Kauffman, un problema que llevaba abierto más de treinta años, al encontrar un contraejemplo en el nudo10145. Si quieren llegar a tierra, átense a un mástil que vienen olas:

ANDRÉS LOMEÑA: En primer lugar, debería preguntarle, para que nos aclaremos, si los cordones atados de los zapatos, los nudos marineros o el nudo de una horca son nudos en sentido matemático. 

MARITHANIA SILVERO: No exactamente. Por lo general, los nudos que encontramos en la vida real están hechos con una cuerda que tiene un principio y un final y precisamente esto es lo que permite que podamos, por ejemplo, desatarnos los cordones al llegar a casa o desamarrar un barco. Ahora bien, si en cualquiera de los nudos que me comentas pegamos los extremos de la cuerda entre sí, tendríamos una idea intuitiva de lo que los matemáticos tenemos en mente cuando pensamos en un nudo. Para un matemático la cuerda no tiene principio ni final, lo que implica que el nudo no puede desatarse.

A.L.: El problema de los puentes de Königsberg dio origen a la teoría de grafos. Le haré una doble pregunta porque creo que ambas cuestiones están anudadas: ¿hay alguna relación entre los grafos y los nudos? ¿Qué matemático le parece más importante en el origen de la teoría de nudos?

M.S.: Efectivamente, la relación entre grafos y nudos es muy estrecha. Podríamos decir que muchos resultados en teoría de grafos tienen su equivalente en teoría de nudos. Los grafos tienen vértices y aristas que los unen, mientras que los diagramas de nudos cuentan con regiones y cruces entre ellas. Así, podemos asociar un grafo al diagrama de un nudo dibujando un vértice por cada región y una arista por cada cruce.

El matemático Peter G. Tait ya era consciente de esta relación cuando intentaba hacer la primera clasificación de los nudos, alrededor de 1880. Siguiendo una teoría de Lord Kelvin, pensaba que cada nudo estaba asociado a un tipo de átomo, con lo que la clasificación de todos los nudos posibles daría una clasificación de todos los elementos químicos, algo similar a una tabla periódica de los elementos. Esta teoría fue rechazada, pero supuso el inicio de la teoría de nudos. Por eso, podríamos considerar a Tait el padre de la teoría de nudos.

A.L.: Ha escrito en el diario El País sobre la solución de Lisa Piccirillo a un conocido problema en teoría de nudos planteado por el mítico John Conway, recientemente fallecido por COVID-19. Se ha completado la clasificación de nudos slice por debajo de trece cruzamientos. ¿Aportaciones como la de Piccirillo y la suya suponen un salto cualitativo o no conviene que los periodistas exageremos? 

M.S.: Considero que es muy positivo que los medios se hagan eco de buenas noticias que pasen en el mundo de la ciencia y, en particular, de las matemáticas. Decir que el descubrimiento de Piccirillo va a revolucionar el mundo en el que vivimos sería una exageración (al menos de momento), pero haber encontrado la solución a un problema matemático que llevaba abierto décadas es un gran mérito que merece ser compartido en los medios. Se trata de informar y de crear conciencia científica en la sociedad. ¡Ojalá pudiéramos leer más noticias de este tipo! Y si además sirven para dar visibilidad a las científicas y despertar vocaciones en niños y niñas, mejor todavía.

A.L.: Miro la tabla de nudos y me da auténtico vértigo. Ahí va una doble pregunta: ¿qué tipos de nudos le parecen más bonitos? ¿Cuáles son los siguientes desafíos en teoría de nudos? 

M.S.: ¿Los más bonitos? Quizás los nudos tóricos, que son aquellos que pueden dibujarse en la superficie de un donut (los matemáticos decimos toro), porque tienen una simetría especial y satisfacen algunas propiedades que aún no llegamos a comprender del todo, y es que para los matemáticos no sólo es importante saber que algo es verdad, sino comprender por qué sucede. 

En teoría de nudos estudiamos si dados dos nudos (dos cuerdas anudadas) es posible deformar uno en el otro (retorciendo la cuerda, doblándola, estirándola… sin llegar a cortarla). Para resolver este problema usamos los invariantes, que son funciones que asignan un valor a cada nudo (puede ser un valor numérico, un polinomio, un espacio…) Pienso que el siguiente desafío sería encontrar un invariante que asociara a cada nudo un objeto que no haya sido asociado antes. ¿Por qué lo creo? Porque las dos últimas “revoluciones” en teoría de nudos han sido los descubrimientos de los primeros invariantes que asocian a cada nudo un polinomio y un grupo con ciertas propiedades (hoy conocidos como polinomio de Jones y homología de Khovanov, respectivamente). 

A.L.: Su demostración consiste en que la familia de nudos pseudoalternantes no es la misma que la de los nudos alternativos. Creo que esta pregunta es más simplona que un nudo trivial: si se creía que eran lo mismo, ¿cómo es que diferenciaron estas familias desde el principio? 

M.S.: ¡No es una pregunta simplona! De hecho sirve para explicar que cuando un matemático define un concepto nuevo, no lo hace de manera aleatoria, sino que esa definición viene motivada por una serie de condiciones que hay que imponer al objeto con el que se trabaja para seguir avanzando. Así, los nudos pseudoalternantes fueron definidos en 1976 por E. J. Mayland y K. Murasugi a partir de un tipo especial de superficies que necesitaban para probar un resultado relacionado con la teoría de grupos. Por otra parte, en 1983 L. Kauffman definió la familia de nudos alternativos como aquellos que satisfacían una serie de propiedades concretas que permitían generalizar algunos resultados ya conocidos. Dicho de otro modo: ambas familias surgieron en contextos distintos, y es por ello que se definieron de forma diferente (cada matemático exige al nudo las propiedades que necesita para probar sus resultados). No obstante, Kauffman era consciente de que las propiedades que debía cumplir un nudo para ser pseudoalternante tenían similitud con aquellas propiedades que debía cumplir para ser alternativo (y de hecho bajo algunas condiciones adicionales las propiedades son equivalentes), de ahí la conjetura que sostenía que la familia de nudos pseudoalternantes coincide con la de nudos alternativos. 

A.L.: Conocí a la genial matemática Clara Grima y me dijo que su profesor de filosofía fue su gran inspiración. Yo, que soy profesor de filosofía, le dije que mi profesor de matemáticas fue de los más influyentes. ¿Quiénes le han inspirado a usted para ser matemática? 

M.S.: Desde los siete u ocho años ya decía que quería ser matemática, así que está claro que mis maestros y mi propia familia tuvieron algo que ver, no sólo encauzándome en esta línea al proponerme acertijos y juegos numéricos o darme libros divulgativos para niños, sino animándome y no intentando quitarme esa idea de la cabeza, cosa que tristemente a veces pasa. También he tenido la suerte de tener profesores muy buenos en el instituto y en la universidad, y por supuesto una gran fuente de inspiración han sido mis directores, Juan González-Meneses y Pedro G. Manchón, sin duda las dos personas que mejor me han transmitido el cariño por esta ciencia.

A.L.: Me fascina la elegancia de los nudos y supongo que en parte eso fue lo que le maravilló a usted. ¿Se ve dedicándose a la divulgación, escribiendo quizás libros divulgativos? Yo veo un filón. ¿Alguna conclusión o algún nudo en particular para poner punto y final a esta entrevista?

M.S.: Me encanta mi trabajo y me gusta mucho conversar sobre matemáticas, no sólo con otros científicos o con mis alumnos, sino con público no especializado, personas que simplemente tienen curiosidad por entender un poquito más esta ciencia y comprender mejor el mundo en el que viven. Cuando surge la oportunidad, intento participar en charlas divulgativas, talleres científicos dirigidos a alumnos de instituto, colaborar con algunos medios de comunicación… podría decirte que lo hago por acercar la ciencia a la sociedad o por darle visibilidad, pero la verdad es que también disfruto mucho con este tipo de actividades. Así que sí, intentaré seguir colaborando con actividades de divulgación, pero no me veo escribiendo libros divulgativos, ¡eso ya son palabras mayores!

Para terminar, animaría a todos a interesarse y tener curiosidad por las matemáticas, a acercarse a ellas sin miedo y sin prejuicios, porque son muy divertidas y porque, como dice el lema elegido por la Unión Matemática Internacional para 2020: “Las Matemáticas están en todas partes”.