El experimento del hotel infinito: un desafío a nuestros conceptos del espacio y los números
Un fascinante concepto matemático y filosófico que desafía nuestra intuición sobre el infinito y que un siglo después sigue intrigando a los científicos.
Considerado uno de los conceptos más enigmáticos de la ciencia, en matemáticas el término infinito hace referencia a lo que no tiene fin o límite, como, por ejemplo, los números. Precisamente el concepto de números infinitos fue desconcertante para los matemáticos hasta que en 1874 Georg Cantor demostró que la infinitud podía ser estudiada de manera matemática. Poco después de su muerte de Cantor, el matemático alemán David Hilbert propuso la paradoja del hotel infinito.
Bienvenidos al Gran Hotel de Hilbert
Para explicar los conceptos relacionados con el infinito, el matemático Hilbert utilizaba a menudo el ejemplo de un hotel muy especial, uno que contaba con infinitas habitaciones. Hilbert imaginó un hotel con un número infinito de habitaciones. A pesar de estar completamente lleno, puede acomodar a más huéspedes reubicando a los actuales: cada huésped se mueve de su habitación, liberando así la primera habitación y, por ende, creando espacio para nuevos huéspedes sin límite.
La llegada de un huésped al hotel infinito
Imaginemos que una noche de tormenta llega al hotel de infinitas habitaciones un viajero para alojarse en él, pero se encuentra con un cartel en la puerta que avisa que está completo. De todos modos, decide entrar y ver si hay alguna posibilidad de pasar la noche resguardado de la lluvia. Rápidamente, la recepcionista -posiblemente una matemática consumada- encuentra una solución: le pide al cliente de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente. Cuando todos los pasajeros se han movido de habitación, la primera queda disponible para el recién llegado. Uno podría preguntarse qué ocurrió con el pasajero que se encontraba en el último cuarto, ya que en un hotel convencional se hubiese quedado sin lugar. Sin embargo, en el Gran Hotel de Hilbert no hay algo así como “último cuarto”, por lo que ese problema no existe. El infinito siempre admite “un lugar más” al final.
Este mecanismo de correr a los pasajeros hacia los cuartos con números más grandes puede aplicarse todas las veces que sea necesario para alojar cualquier número extra de pasajeros. Si llegasen 10, 20 o 256.345 pasajeros, bastaría con desplazar ese número de cuartos a cada una de las personas alojadas, y asunto resuelto. Pero ¿Qué pasaría si al hotel, ya completo, llegasen infinitos pasajeros más?
Hotel infinito e infinitos huéspedes
Imaginemos que llega una excursión con infinitos turistas que necesitan hospedarse esa noche en el hotel, No poden recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones. La solución es simple. La recepcionista pide a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación con el número doble al suyo, dejando todas las habitaciones impares libres para los recién llegados.
Hotel infinito y pasajeros infinitos en autobuses infinitos
Pero que ocurre si al Gran Hotel llegasen infinitos autobuses con infinitos pasajeros cada uno. Hilbert propone asignar habitaciones basándose en un sistema de numeración que involucra potencias de números primos, asegurando que cada nuevo huésped tenga una habitación única. El hotel de Hilbert vence de nuevo.
La Paradoja del Hotel Infinito continúa sorprendiendo a los científicos y filósofos debido a su capacidad para desafiar nuestra comprensión intuitiva del infinito. Se presenta como un concepto teórico y abstracto en matemáticas, sus implicaciones y principios subyacentes encuentran aplicaciones prácticas en diversas áreas, ofreciendo perspectivas únicas y soluciones innovadoras a problemas complejos.